Takové normální

Na třech stromech sedělo dohromady 60 vran. V jednu chvíli odletělo z prvního stromu 6 vran, z druhého stromu 8 vran a ze třetího stromu 4 vrány. Na každém ze stromů potom zůstal sedět stejný počet vran. Kolik vran sedělo na začátku na druhém stromě?

Řešení ukaž

22
Na konferenci se setkali hosté ze čtyřech zemí. Angličanů bylo více než Bulharů. Čechů bylo o jednoho více než dvojnásobek Bulharů. Kdyby Slováků bylo o 10 méně, bylo by jich tolik, co Čechů, avšak ve skutečnosti jich bylo 25. Kolik bylo na konferenci Bulharů?

Řešení ukaž

7
Na dvorku jsou vrabci a holubi. Když odletělo 5 vrabců, bylo holubů dvakrát více, než vrabců. Když potom odletělo ještě 25 holubů, bylo vrabců třikrát více, než holubů. Kolik ptáků bylo původně na dvorku?

Řešení ukaž

Sestavíme soustavu
$\begin{cases}2(v-5)=h\\ 3(h-25)=v-5\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}h=30\\ v=20\end{cases}$
Všech ptáků bylo 50.
Ve třídě $\frac23$ dívek a $\frac12$ chlapců studuje angličtinu. Počet dívek ve třídě je roven $\frac34$ počtu chlapců. Jaká část celé třídy studuje angličtinu?

Řešení ukaž

Platí $d=\frac34c$ . Hledáme
$\frac{\frac23d+\frac12c}{d+c}=\frac{(\frac23\cdot\frac34+\frac12)c}{(\frac34+1)c}=\frac47$
Poměr chlapců a dívek na party je $3:2$ . Pak ale přijde ještě dalších 30 dívek a poměr se změní na $2:3$ . Kolik lidí bylo původně na party?

Řešení ukaž

60
Součet tří čísel je 17. První číslo je dvakrát větší než druhé. Třetí číslo je o 5 větší než druhé. Určete největší z těchto tří čísel.

Řešení ukaž

8
Na farmě jsou králíci a kuřata. Počet hlav je o 20 menší než polovina počtu nohou. Určete počet králíků.

Řešení ukaž

Označíme-li počet králíků $x$ a počet kuřat $y$ , bude platit
$x+y+20=\frac12(4x+2y)\\ x=20$
Na farmě jsou králíci a kuřata a dohromady mají 100 nohou. Kdyby králíků bylo tolik, kolik je kuřat a kuřat bylo tolik, kolik je králíků, měli by 86 nohou. Kolik je kuřat a kolik králíků?

Řešení ukaž

12 kuřat a 19 králíků
V jednom obchodě prodávají jablka v ceně 4 ks/$ a hrušky v ceně 3 ks/$. V druhém obchodě prodávají jablka za stejnou cenu, ale hrušky mají 6 ks/$. V každém obchodě koupíme $m$ kusů jablek a $n$ kusů hrušek. Celkem utratíme 10 $. Kolik kusů ovoce jsme koupili?

Řešení ukaž

40
Na planetě Aardwark mají zvláštní kalendář. Dnů v týdnu je tolik, kolik je týdnů v měsíci. Měsíců v roce je dvakrát více, než dnů v měsíci. Jeden rok má 1250 dní. Kolik je měsíců v roce?

Řešení ukaž

50

Řešení	ukaž
22

Řešení	ukaž
7

Řešení	ukaž
Sestavíme soustavu $\begin{cases}2(v-5)=h\\ 3(h-25)=v-5\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}h=30\\ v=20\end{cases}$ Všech ptáků bylo 50.

Řešení	ukaž
Platí $d=\frac34c$ . Hledáme $\frac{\frac23d+\frac12c}{d+c}=\frac{(\frac23\cdot\frac34+\frac12)c}{(\frac34+1)c}=\frac47$

Řešení	ukaž
60

Řešení	ukaž
8

Řešení	ukaž
Označíme-li počet králíků $x$ a počet kuřat $y$ , bude platit $x+y+20=\frac12(4x+2y)\\ x=20$

Řešení	ukaž
12 kuřat a 19 králíků

Řešení	ukaž
40

Řešení	ukaž
50

V krabici jsou bonbóny. Nejprve přijde Dana a sní

$\frac13$ bonbónů. Pak přijde Hana a sní

$\frac13$ zbytku. Nakonec přijde Jana a sní opět

$\frac13$ zbytku. Nyní zůstalo v krabici 64 bonbónů. Kolik bonbónů bylo v krabici na začátku?

Řešení	ukaž
Začneme od konce: Když přišla ke krabici Jana, bylo v ní $x$ bonbónů. Podle zadání platí $x-\frac x3=64\\ x=96$ Tolik bonbónů tedy nechala Hana. Ta našla v krabici $y$ bonbónů a platí $y-\frac y3=96 \\y=144$ Dana tedy nechala v krabici 144 bonbónů. Pokud bylo na počátku v krabici $z$ bonbónů, platí $z-\frac z3=144\\ z=216$ Na začátku bylo v krabici $216$ bonbónů.

Tři kamarádi si koupili pro silvestrovské oslavy hromadu rachejtlí. Protože dost pili, všichni usnuli. První kamarád se probudil a vystřílel jich 1/3. Druhý se probudil poději a vystřílel také 1/3 rachejtlí z hromady. A nakonec třetí stejně tak. Zbylých 16 rachejtlí nakonec vystříleli společně. Kolik měli na počátku rachejtlí?

Řešení ukaž

54

Řešení	ukaž
54

Maminka usmažila koblihy. Jejich vůně přilákala děti. Nejprve si Pavel vzal o jednu koblihu méně, než byla třetina všech koblih, pak Světlana o jednu koblihu méně, než byla třetina zbývajících a nakonec Maruška o jednu koblihu méně, než byla třetina zbytku. V míse zbylo 11 koblih. Kolik koblih maminka usmažila?

Řešení	ukaž
Od konce: Maruška našla $x$ koblih a platí $x-(\frac x3-1)=11\\ x=15$ Světlena našla $y$ koblih a platí $y-(\frac y3-1)=15\\ y=21$ Pavel přišel k $z$ koblihám a platí $y-(\frac z3-1)=21\\ z=30$ Maminka usmažila 30 koblih.

V hostinci se sešli cestující a objednali si k večeři ústřice, avšak nevečeřeli společně. Když přišel k večeři první, byl na stole velký podnos s ústřicemi, z nichž cestující ze zdvořilosti snědl o jednu ústřici méně, než činila 1/3 jejich počtu a odešel. Za chvíli přišel druhý cestující a nevěda, že první už povečeřel, snědl opět o 1 ústřici méně, než činila 1/3 z těch, jež zbyly na podnose. Stejně se zachoval i třetí cestující, po jehož odchodu zbylo na podnose ještě 19 ústřic. Kolik jich kuchař původně připravil na podnos?

Řešení ukaž

57
V kině dávali velmi špatný film. Proto během prvních patnácti minut odešla polovina diváků. Po dalších deseti minutách odešla jedna třetina zbytku a po dalších pěti minutách odešla ještě jedna čtvrtina zbytku. V kině zůstalo 9 diváků. Kolik lidí bylo původně v kině?

Řešení ukaž

36
Profesor O. M. G. Nudný měl přednášku. Během přednášky udělal 3 přestávky. Jeho přednáška byla tak hrozná, že během první přestávky odešlo 40 % studentů, během druhé přestávky odešlo 50 % zbytku a během třetí přestávky 60 % těch, co ještě zůstali. Na konci přednášky bylo ve třídě 30 studentů. Kolik studentů bylo na přednášce na začátku?

Řešení ukaž

250
Obchodník objel tři trhy. Na prvém zdvojnásobil své peníze a utratil 30 Kč, na druhém ztrojnásobil své peníze a utratil 54 Kč a na třetím zčtyřnásobil své peníze a utratil 72 Kč. Nakonec měl 48 Kč. Kolik měl na začátku?

Řešení ukaž

29 Kč
Cestou na dovolenou jsme první den ujeli dvě pětiny cesty, druhý den jsme ujeli tři čtvrtiny zbytku. Do cíle nám pak zbývalo ještě 75 km. Kolik kilometrů máme celkem ujet do místa dovolené?

Řešení ukaž

500 km
Pět litrů bílého a šest litrů červeného vína stojí 432 Kč. Litr červeného je o 6 Kč dražší než litr bílého vína. Kolik zaplatíme za 2 litry bílého a 3 litry červeného vína?

Řešení ukaž

Cenu bílého vína označíme $x$ . Červěné víno pak stojí $x+6$ korun. Sestavíme rovnici
$5x+6(x+6)=432\\ x=36$
Cena nákupu
$2\cdot36+3\cdot 42=198$
V jednom sudu bylo dvakrát více vody než v druhém. Když z prvního přelijeme 24 litrů do druhého, bude v obou stejně. Kolik litrů vody bylo v každém sudu?

Řešení ukaž

48 a 96 litrů
Kontejner do poloviny naplněný pískem váží 1 tunu. Dva kontejnery, oba naplněné do tří čtvrtin pískem, váží dohromady 2,6 tuny. Kolik kontejnerů potřebujeme na uskladnění šesti tun písku?

Řešení ukaž

5 kontejnerů
Josef má celkem 200 Kč ve dvou kapsách. Vezme čtvrtinu peněz z levé kapsy a dá je do pravé kapsy. Potom vezme ještě 20 Kč z levé kapsy a dá je do pravé kapsy. Nyní má v obou kapsách stejně peněz. Kolik peněz měl původně v levé kapse?

Řešení ukaž

160 Kč

Řešení	ukaž
57

Řešení	ukaž
36

Řešení	ukaž
250

Řešení	ukaž
29 Kč

Řešení	ukaž
500 km

Řešení	ukaž
Cenu bílého vína označíme $x$ . Červěné víno pak stojí $x+6$ korun. Sestavíme rovnici $5x+6(x+6)=432\\ x=36$ Cena nákupu $2\cdot36+3\cdot 42=198$

Řešení	ukaž
48 a 96 litrů

Řešení	ukaž
5 kontejnerů

Řešení	ukaž
160 Kč

V prvních a druhých třídách naší školy je dohromady 156 žáků, ve druhých a třetích je dohromady 178 žáků, ve třetích a čtvrtých je dohromady 192 žáků. Přitom do prvních tříd chodí stejný počet jako do čtvrtých. Kolik žáků chodí do jednotlivých ročníků?

Řešení	ukaž
Počet žáků v prvních třídách označíme $p$ , ve druhých $d$ a ve třetích $t$ . Sestavíme soustavu rovnic $\begin{cases}p+d=156\\ d+t=178\\ t+p=192\end{cases}$ a vyřešíme ji: $p=85$ , $d=71$ , $t=107$

Po návratu domů z pracovní cesty rozdával Jiří své rodině (manželce Evě, dcerám Daně a Anně a synu Petrovi) dárky. Cena všech dárků bez dárku pro Evu byla 254 Kč, bez Danina dárku 296 Kč, bez Annina dárku 303 Kč a bez Petrova dárku 263 Kč. Kolik zaplatil Jiří za jednotlivé dárky pro členy své rodiny?

Řešení ukaž

$a=69$ , $d=76$ , $e=118$ , $p=109$

Řešení	ukaž
$a=69$ , $d=76$ , $e=118$ , $p=109$

Ve dvoupatrovém (třípodlažním) domě bydlí 46 osob nad jinými a 47 osob pod jinými. V prvním patře (tj. v prostředním podlaží) bydlí polovina všech osob bydlících v domě. Kolik osob bydlí celkem v domě?

Řešení	ukaž
Počet lidí v přízemí bude $x$ , v prvním patře $y$ a ve druhém $z$ . Sestavíme soustavu $\begin{cases}y+z=46\\ x+y=47\\ y=x+z\end{cases}\ \Rightarrow\ y=31$ V domě bydlí 62 lidí.

Nádoba s vodou váží 2,48 kg. Když vylijeme 75 % vody, váží 0,98 kg. Kolik váží prázdná nádoba? Kolik vody bylo původně v nádobě?

Řešení ukaž

$\begin{cases}v+n=2,48\\ \frac v4+n=0,98\end{cases}$
Nádoba váží 0,48 kg, vody bylo původně 2 kg.
Vlčkovi lisovali jablečný mošt. Měli ho ve dvou stejně objemných soudcích, v obou téměř stejné množství. Kdyby z prvního přelili do druhého 1 litr, měli by v obou stejně, ale to by ani jeden soudek nebyl plný. Tak raději přelili 9 litrů z druhého do prvního. Pak byl první soudek úplně plný a mošt v druhém zaplňoval právě třetinu objemu. Kolik litrů moštu vylisovali, jaký byl objem soudků a kolik moštu v nich bylo původně?

Řešení ukaž

Vylisovali 40 l moštu, objem soudků byl 30 l a v soudcích bylo původně 21 l a 19 l.
Čitatel zlomku je o 4 menší než jmenovatel. Když od čitatele i jmenovatele odečteme 2, dostaneme $\frac37$ . Jaký byl původní zlomek?

Řešení ukaž

$\frac59$
Obdélník má délky stran v poměru 2 : 5. Prodloužíme-lí všechny jeho strany o 9 cm, dostaneme obdélník, jehož délky stran jsou v poměru 3 : 7. V jakém poměru budou délky stran obdélníku, který vznikne prodloužením všech stran o dalších 9 cm?

Řešení ukaž

5:11
Ve třech nádobách je celkem 22 litrů mléka. V první je o 6 litrů více než ve druhé. Když z první přelijeme 5 litrů do třetí, je ve druhé a třetí nádobě stejně. Kolik bylo původně v první?

Řešení ukaž

Sestavíme soustavu
$\begin{cases}p+d+t=22\\p+d+6\\t+5=d\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}p=13\\d=7\\ t=2\end{cases}$
Sud s vodou měl hmotnost 64 kg. Když se z něho první den spotřebovalo 28 % vody a druhý den třetina ze zbytku, byla jeho hmotnost 38 kg. Jakou hmotnost má prázdný sud a kolik kilogramů vody v něm původně bylo?

Řešení ukaž

sud má 14 kg
Severských závodů psích spřežení se zúčastnilo dohromady celkem 315 dvojspřeží a trojspřeží. Do cíle dorazilo ve stanoveném limitu 60 % všech dvojspřeží a $\frac13$ všech trojspřeží, takže do cíle dorazila včas přesně polovina všech psů. Kolik dvojspřeží a kolik trojspřeží závodilo?

Řešení ukaž

225 dvojspřeží a 90 trojspřeží
Monika a Leo strávili sobotní večer v baru. Pili pivo (za 25 Kč), vodku (za 50 Kč) a koktail „Sex on the Beach“ (za 100 Kč). Za večer každý vypil 10 nápojů. Monika vypila dvakrát více piv než Leo, ale ten vypil třikrát více vodky než Monika. Monika utratila 500 Kč a Leo 625 Kč. Kolik vypili dohromady koktailů?

Řešení ukaž

7
Farmář prodal 3 krávy a za utržené peníze koupil 4 ovce a ještě mu zbylo 5000 Kč. Když prodal 5 ovcí tak k utrženým penězům musel přidat 10000 Kč, aby mohl koupit 4 krávy. Urči cenu jedné ovce a cenu jedné krávy.

Řešení ukaž

k=15000 Kč, o=10000 Kč

Jeden dělník potřebuje na opracování součástky o 7 minut méně času než druhý. Kolik součástek opracuje každý z nich za 4 hodiny, jestliže prvý opracuje za tu dobu o 28 součástek více než druhý.

Řešení	ukaž
Rychlejší dělník potřebuje na 1 součástku $t$ minut, pomalejší $t+7$ minut. Podle textu platí $\frac{240}t=\frac{240}{t+7}+28\\ t=5$ (záporný kořen nemá smysl). Rychlejší dělník opracuje $\frac{240}5=48$ a pomalejší $\frac{240}7=20$ součástek.

Student říká: "Mám ve třídě čtyřikrát více spolužáků než spolužaček." Studentka to vidí jinak: "Já mám pětkrát více spolužáků než spolužaček." Kolik je studentů a studentek ve třídě?

Řešení ukaž

$\begin{cases}4d=k-1\\5(d-1)=k\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}d=6\\ k=25\end{cases}$
Kluků je 25, dívek 6.
Fotbalovému utkání přihlíželo 144 zvědavců, všichni však nebyli místní. Kdyby se počet přespolních diváků zvýšil o 50 procent a počet domácích diváků snížil o 25 procent, bylo by jich opět 144 diváků. Kolik bylo místních a kolik přespolních?

Řešení ukaž

místních 96, přespolních 48
Rybář se chlubí úlovkem: "Samotný ocas váží 3 kg, hlava tolik, kolik ocas a polovina těla a tělo tolik, kolik hlava a ocas dohromady." Kolik vážil úlovek?

Řešení ukaž

24 kg
Rodina kupovala vždy šest lahvových piv na dva dny, přičemž otec pokaždé vypil dvakrát více piva než děda a čtyřikrát více než maminka. O dovolené přijel otcův bratr, který pil pivo stejně jako on. Jak dlouho trvala bratrova návštěva, když všichni dohromady vypili 33 lahví piva?

Řešení ukaž

7 dní
Natalie má několik pěticentů, Dirk má několik deseticentů a Quincy má několik pětadvaceticentů. Dirk má o pět deseticentů více než Quincy pětadvaceticentů. Když dá Natalie Dirkovi pěticent, Dirk dá Quincymu desticent a Quincy dá Natalii pětadvaceticent, pak budou mít všichni stejně peněz. Kolik mincí měl původně každý z nich?

Řešení ukaž

Sestavíme soustavu
$\begin{cases}d=q+5\\5n+20=10d-5\\ 5n+20=25q-15\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}q=4\\ n=13\\ d=9\end{cases}$
Při basketbalu dali Harold a Izák dohromady 19 bodů. Izák a Jakub dali celkem 14 bodů. Izák dal tolik bodů jako Harold a Jakub dohromady. Kolik dal každý bodů?

Řešení ukaž

Harold 8, Izák 11, Jakub 3
Váňa má celkem 20 desetikorun a padesátikorun. Kdyby se desetikoruny změnily v padesátikoruny a padesátikoruny se změnily v desetikoruny, měl by o 240 korun více, než má nyní. Kolik má desetikorun a kolik padesátikorun?

Řešení ukaž

13 desetikorun, 7 padeátikorun
Speciálním vagónem jsou na dostihy přepravováni koně i se svými žokeji a krmivem. Hmotnost vagónu ku hmotnosti koní ku hmotnosti žokejů ku hmotnosti krmiva je 60:10:2:6. Na zastávce přistoupil do vagónu žokej se svým koněm. Přistoupivší kůň vážil 280 kg. Po jejich nastoupení se poměr změnil na 50:10:2:5 (ve stejném pořadí). Kolik vážil žokej, který přistoupil?

Řešení ukaž

Označíme hmotnost žokeje, který přistoupil, $x$ . Pak platí
$\begin{cases}\frac{10}2=\frac kz\\ \frac{10}2=\frac{k+280}{z+x}\end{cases}\ \Rightarrow\ x=56$
Na safari se u řeky napájeli vodou nosorožci, o kus dál byli sloni a antilopy. Nedaleko též dokončovali svou hostinu supi a dva lvi. Napočítal jsem celkem 100 zvířat. Dále jsem zjistil, že měli dohromady 320 nohou. Manželka si zase všimla, že antilop bylo stejně jako supů a nosorožců bylo stejně jako slonů a lvů dohromady. Kolik kterých zvířat jsme vlastně viděli?

Řešení ukaž

supů 40, slonů 8, nosorožců 10
V jídelně je 7 litrů přeslazeného čaje a 3 litry málo sladkého čaje. Do jedné konvice jsme nabrali přeslazený čaj a do druhé stejné množství málo sladkého čaje. Potom jsme přeslazený čaj z konvice nalili do 3litrového hrnce a málo sladký čaj do 7litrového hrnce. V obou hrncích je nyní stejně sladký čaj. Kolik litrů čaje jsme nabrali do konvice.

Řešení ukaž

Množství nabraného čaje označíme $x$ , koncentrace postupně $k_1$ , $k_2$ . Platí
$\frac{(7-x)k_1+xk_2}7=\frac{(3-x)k_2+xk_1}3\\ x=2,1$
Auto může být vybaveno benzínovým, nebo naftovým motorem. Auto s naftovým motorem má spotřebu 4 litry/100 km. Auto s benzínovým motorem má spotřebu 5 litrů/100 km. Benzín stojí 26 Kč/l, nafta stojí 25 Kč/l. Auto s naftovým motorem je ale o 18 000 Kč dražší než auto s benzínovým motorem. Kolik roků musí být auto v provozu, aby se vyplatilo koupit auto s naftovým motorem, když ročně najede 20 000 km?

Řešení ukaž

3 roky
Tři piva a pět rumů stojí 73 Kč. Dvě piva a dva rumy stojí 34 korun. Kolik stojí jedno pivo?

Řešení ukaž

6 Kč
Reklamní oddělení firmy objednalo před Vánocemi za 4600Kč několik stolních a několik nástěnných kalendářů pro své obchodní partnery. Stolní kalendář stál 58Kč, nástěnný 130Kč. Když došel balík s kalendáři a účet na 5176Kč, zjistilo se, že objednávka byla vyřízena nesprávně - nástěnných kalendářů bylo tolik, kolik mělo být stolních, a naopak. Kolik kterých kalendářů bylo původně objednáno?

Řešení ukaž

$n=22$ , $s = 30$
Sally prodává na Slavnostech piva pivo. Malé pivo je za 35 Kč a velké je za 55 Kč. Celkem prodala 31 piv a utržila 1525 Kč. Kolik prodala velkých piv?

Řešení ukaž

22

Víme, že 70 krav by spáslo louku za 24 dní, zatímco 30 krav by ji spáslo za 60 dní. Za kolik dní spase louku 20 krav? Pozor, během pastvy tráva na louce pochopitelně roste.

Řešení

ukaž

1 kráva spase za den

$x$ trávy, na louce vyroste za den

$v$ trávy a počáteční množství trávy na louce je

$T$ . Ze zadání máme

$\begin{cases}70x\cdot24=24v+T\\ 30x\cdot60=60v+T\end{cases}\ \Rightarrow\ x=\frac3{10}v$

Chceme určit čas

$t$ tak, aby platilo

$20xt=vt+T$

Porovnáním s druhou rovnicí dostaneme

$60(30x-v)=t(20x-v)\\ 60\left(30\cdot\frac3{10}v-v\right)=t\left((20\cdot\frac3{10}v-v\right)\\ t=96$

20 krav by spáslo louku za 96 dní.

V samovaru bez ustání vře voda. Pět lidí vypije obsah samovaru za půldruhé hodiny, osm lidí za hodinu. Za jak dlouho vyprázdní samovar jedenáct lidí? Poznámka: Předpokládáme, že množství čaje vypité jedním hostem za určitý čas (např. za jedııu hodinu) jsou stejné a že se voda vyváří stejnoměrně.

Řešení ukaž

za $\frac34$ hodiny

Slovní úlohy

Rubriky

Základní informace