Slovní úlohy

Využijeme vztahy

$$\begin{cases}a_n=a_1+(n-1)d\\ S_n=\frac n2(a_1+a_n)\end{cases}$$

a dostaneme

$$S_n=\frac n2(2a_1+(n-1)d)\\ S_n=\frac{18}2(2\cdot26+17)=621$$

Dělník by vyrobil 621 součástek.

8184 Kč

za 8 hodin

650 Kč

První dělník dostane 5$ a každý další vždy o 27,5$ více.

120 cm

Když počet dětí označíme $n$, tak podle textu bude platit

$$\frac n2(1+n)=6n\\ n=11$$

Jablka trhalo 11 dětí.

689 610 Ł

648 €

Ceny tvoří aritmetickou posloupnost s diferencí 2. Označíme si je postupně $a_1$ až $a_{31}$. Podle zadání mohou nastat dvě situace.

$$a_{31}=a_{15}+a_{16}\\ a_1=2$$

nebo

$$a_{31}=a_{16}+a_{17}\\ a_1=-2$$

Druhá možnost zřejmě nevyhovuje. Nejlevnější kniha stojí 2 Kč.

1952

Označíme si částku ukradenou z 1. trezoru první den $x$ a původní množství peněz v každém trezoru $y$, pak podle zadání platí rovnice

$$\begin{cases}100y-\frac{100}2(x+100x)=24850\\ y-100x=1\end{cases}\\ x=5\qquad y=501$$

V každém trezoru bylo původně 501 Kč.

Označíme si cenu prostřední perly $x$. Pak celková cena jedné části je

$$\frac{16}2((x-150)+(x-150)-150\cdot15)$$

a druhé části

$$\frac{16}2((x-100)+(x-100)-100\cdot15)$$

Celková cena náhrdelníku je

$$16(x-150-75\cdot15)+16(x-100-50\cdot15)+x=65000\\ x=3000$$

Prostřední perla stála 3000$.

Označíme $n$ počet týdnů, na které měli připravené zásoby. Podle zadání měli připraveno

$$31\cdot10\cdot n=310 n$$

ovcí. Počet snězených ovcí je podle textu

$$\frac{2n}2(310+310-10(2n-1))$$

Porovnáním těchto údajů máme

$$n(620-10(2n-1))=310n\\ n=16$$

V ZOO měli připraveno 4960 ovcí a měly jim vystačit na 16 týdnů.

Strany trojúhelníka si postupně označíme $b-d$, $b$ a $b+d$. Podle zadání a podle Pythagorovy věty sestavíme soustavu rovnic

$$\begin{cases}\frac12b(b-d)=6\\ (b-d)^2+b^2=(b+d)^2\end{cases}\\ b=4\qquad d=1$$

Strany trojúhelníka jsou postupně 3 dm, 4 dm a 5 dm.

$S=294$ dm$^2$, $o=84$ dm

$115^\circ$

$120^\circ$

$168^\circ$

Vyhovují dva: devítiúhelník a šestnáctiúhelník

Vyhovují dva kvádry. První má strany 9 cm, 8,5 cm a 8 cm. Jeho povrch je 450 cm$^2$. Druhý má strany $9\pm\sqrt{13}$ cm a 9 cm. Jeho povrch je 460 cm$^2$. 

Čísla tvoří aritmetickou posloupnost s diferencí $d=7$. První číslo je 105 a poslední 994. Musí tedy platit

$$994=105+7(n-1)\\ n=128$$

Takových čísel je 128.

Součet všech čísel je

$$S=\frac{100}2(1+100)=5050$$

Součet čísel dělitelných čtyřmi je

$$S^\prime=\frac{24}2(4+100)=1248$$

Součet čísel, která nejsou dělitelná čtyřmi bude

$$S-S^\prime=5050-1248=3802$$

743

Stejným způsobem jako v příkladu 21. určíme počet čísel dělitelných třemi.

$$9999=1002+3(n-1)\\ n=3000$$

Čísel dělitelných sedmi je

$$9996=1001+7(k-1)\\k=1286$$

Tyto hodnoty nemůžeme jednoduše sečíst, protože čísla dělitelná 21 jsme počítali dvakrát. Takových čísel je

$$9996=1008+21(m-1)\\ m=429$$

Hledaný počet čísel je

$$3000+1286-429=3875$$

$a_1=16$

Pokud počet čísel označíme $n$ a nejmenší číslo $a_1$, pak podle zadání platí

$$55=\frac n2[a_1+a_1+4(n-1)]\\ n(a_1+2n-2)=55\cdot1=5\cdot11$$

Zadání vyhovuje pouze možnost $n=5$. Pak $a_1=3$. Hledaný součet je

$$3+7+11+15+19=55$$

Stejným postupem jako v předchozím příkladu dostaneme

$$200=n(2a_1+n-1)$$

Protože pro přirozená čísla je

$$n<2a_1+n-1$$

jsou možné pouze rozklady (první číslo bude $n$)

$$2\cdot100=4\cdot50=5\cdot40=8\cdot25=10\cdot20$$

Celočíselná hodnota $a_1$ vyjde pouze pro
$n=5$: $18+19+20+21+22=100$ a
$n=8$: $9+10+11+12+13+14+15+16=100$

$661+662+663=495+496+497+498=160+\dots+171$

$663+664+665=117+\dots+132=18+\dots+65$

$m=47$

Protože funkce $y=x^4-10x^2+a$ je sudá, musí být kořeny dané rovnice symerticky rozložené kolem nuly. Označíme $x_1$ menší kladný kořen a $d$ diferenci posloupnosti. Pak bude platit

$$\begin{cases}-x_1+d=x_1\\ x_1+d=x_2\end{cases}\Rightarrow\ x_2=3x_1$$

Pro kořeny dané rovnice dále platí

$$(x+x_2)(x+x_1)(x-x_1)(x-x_2)=0\\ x^4-10x_1^2x^2+9x_1^4=0$$

Porovnáním koeficientů této a zadané rovnice dostaneme $a=9$.

$m_1=6$, $m_2=-\frac{19}6$

Označíme si $n$ počet stránek a $x$, $x+1$ čísla stránek na vytrženém listu ($n, x\in\mathbb N$, $x$ musí být liché). Pak platí

$$\frac n2(n+1)-x-(x+1)=1300\\ x=\frac{n(n+1)-26002}4$$

Dále platí podmínky

$$\begin{cases}\frac n2(n+1)>13000\\ x+1\le n\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}\frac n2(n+1)>13000\\ \frac{n(n+1)-26002}4+1\le n\end{cases}$$

Tato soustava má dvě celočíselná řešení $n\in\{161;162\}$. Pro $n=161$ je $x=20$, což nevyhovuje, protože $x$ není liché. Pro $n=162$ je $x=101$, vyhovuje. Knížka měla 162 stran a byl vytržen list se stranami 101 a 102.

Knížka měla 47 stran a vytržené strany jsou 17, 18, 19, 20