Geometrická posloupnost

Honzův otec má sud, ve kterém bylo původně 26 litrů vína. Honza každý den nabral ze sudu 1 litr, který vypil. Aby otec nic nepoznal tak potom vždy do sudu nalil 1 litr vody. Kolik vína vypil Honza za 10 dní?

Řešení	ukaž
Množství vypitého vína tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem $q=\dfrac{25}{26}$ . Celkové vypité množství $S_{10}=1\cdot\dfrac{(\frac{25}{26})^{10}-1}{\frac{25}{26}-1}=8,4$ Honza vypil celkem 8,4 litru vína.

Míč odskakuje po odrazu od vodorovné roviny do 4/5 výšky, ze které dopadl. Po kolika odrazech dostoupí do výšky menší, než je jedna desetina výšky ze které byl spuštěn?

Řešení	ukaž
Výška po odskoku je určená rovnicí $h=h_0\left(\dfrac45\right)^n$ kde $h_0$ je počáteční výška a $n$ počet odrazů. Řešíme nerovnici $h_0\left(\dfrac45\right)^n<\dfrac{h_0}{10}\\ n>\dfrac{-1}{\log0,8}=10,3$ Poprvé pod danou hranici odskočí po 11. odrazu.

Gumová kulička volně puštěná z výšky 2 m se poprvé odrazí do výšky 1,9 m. Po kolikátém odrazu už nepřekoná výšku 1,5 m?

Řešení ukaž

po 6. odrazu
Horkovzdušný balón vystoupá 25 metrů vysoko za minutu po startu. Každou další minutu vystoupá 75 % výšky, kterou vystoupal za předchozí minutu. Jak dlouho potrvá balónu, než bude více než 110 metrů vysoko?

Řešení ukaž

Do takové výšky balón nikdy nevystoupá.
Hrany kvádru tvoří geometrickou posloupnost. Součet délek tří různých hran je 21 cm, objem je 216 cm $^3$ . Určete délky hran.

Řešení ukaž

Řešením soustavy
$\begin{cases}\frac aq+a+aq=21\\ a^3=216\end{cases}$
dostaneme řešení $a=6$ a $q=2$ nebo $q=\frac12$ . Délky hran kvádru jsou 3 cm, 6 cm a 12 cm.
Rozměry kvádru jsou po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Objem kvádru je 216 cm $^3$ a povrch kvádru je 312 cm $^2$ . Urči rozměry kvádru.

Řešení ukaž

2 cm, 6 cm, 18 cm
Strany trojúhelníka tvoří geometrickou posloupnost. Obvod je 42 cm, délka prostřední strany je $b=8$ cm. Jaké jsou další strany?

Řešení ukaž

Řešením rovnice
$\frac8q+8+8q=42$
dostaneme řešení $q=4$ nebo $q=\frac14$ . Délky stran trojúhelníka by měly být 2 cm, 8 cm a 32 cm. Takový trojúhelník ale neexistuje.
Strany pravoúhlého trojúhelníka tvoří geometrickou posloupnost. Jaký je její kvocient?

Řešení ukaž

$q=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt5}2}$

Řešení	ukaž
po 6. odrazu

Řešení	ukaž
Do takové výšky balón nikdy nevystoupá.

Řešení	ukaž
Řešením soustavy $\begin{cases}\frac aq+a+aq=21\\ a^3=216\end{cases}$ dostaneme řešení $a=6$ a $q=2$ nebo $q=\frac12$ . Délky hran kvádru jsou 3 cm, 6 cm a 12 cm.

Řešení	ukaž
2 cm, 6 cm, 18 cm

Řešení	ukaž
Řešením rovnice $\frac8q+8+8q=42$ dostaneme řešení $q=4$ nebo $q=\frac14$ . Délky stran trojúhelníka by měly být 2 cm, 8 cm a 32 cm. Takový trojúhelník ale neexistuje.

Řešení	ukaž
$q=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt5}2}$

Do úhlu, jehož ramena svírají

$60^\circ$ , je vepsáno pět kružnic tak, že každá následující (počínaje druhou) se dotýká předcházející kružnice. Kolikrát je součet ploch všech pěti kruhů větší než plocha prvního kruhu?

Řešení	ukaž
Vezmeme-li dvě libovolné sousední kružnice, vidíme, že pro jejich poloměry platí $\begin{cases}\dfrac rx=\sin\frac\alpha2\\ \dfrac R{x+r+R}=\sin\frac \alpha2\end{cases}\Rightarrow\ \dfrac Rr=\dfrac{1+\sin\frac\alpha2}{1-\sin\frac\alpha2}=\text{konstanta}$ Konkrétně pro daný úhel $\dfrac Rr=3$ Poloměry kružnic tedy tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem $q=3$ , tím pádem obsahy kruhů budou tvořit geometrickou posloupnost s kvocientem 9. $\dfrac{S_5}{S_1}=\dfrac{S_1\frac{9^5-1}{9-1}}{S_1}=7381$

Řešení

ukaž

Vezmeme-li dvě libovolné sousední kružnice, vidíme, že pro jejich poloměry platí

$\begin{cases}\dfrac rx=\sin\frac\alpha2\\ \dfrac R{x+r+R}=\sin\frac \alpha2\end{cases}\Rightarrow\ \dfrac Rr=\dfrac{1+\sin\frac\alpha2}{1-\sin\frac\alpha2}=\text{konstanta}$

Konkrétně pro daný úhel

$\dfrac Rr=3$

Poloměry kružnic tedy tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem

$q=3$ , tím pádem obsahy kruhů budou tvořit geometrickou posloupnost s kvocientem 9.

$\dfrac{S_5}{S_1}=\dfrac{S_1\frac{9^5-1}{9-1}}{S_1}=7381$

Uložíme do banky 2 000$. Banka platí roční úrok 6 %. Kolik budeme mít v bance za 5 let?

Řešení ukaž

Hodnota vkladu po $n$ úrokovacích obdobích je (bez daně)
$V_n=V_0\left(1+\dfrac p{100}\right)^n\\ V_n=2000\cdot(1,06)^5=26764,5$
Hodnota vkladu bude 2 6764,5$.
Kolik let je potřeba, aby se vklad 5 000 Kč zvětšil na 22 000 Kč, když úrok je 11 % měsíčně?

Řešení ukaž

Označíme $n$ hledaný počet roků.
$22000=5000\cdot(1,11)^{12n}\\ n=\dfrac{\log(\frac{22}5)}{12\cdot\log(1,11)}=1,18$
Cílovou částku překročíme za 1 rok a 3 měsíce.
Podnikatel si půjčil v bance 200 000 Kč na 5 let s 15% úrokem. Jakou částku zaplatí, když celý dluh splatí naráz po pěti letech?

Řešení ukaž

40 227,1 Kč
Nový dům má cenu 2 500 000 Kč. Každý rok ztrácí 10 % své hodnoty. Za kolik let bude mít cenu 250 000 Kč?

Řešení ukaž

22 roků
Nákupní cena auta je 250 000 Kč. Jaká bude jeho hodnota za 3 roky, když se ročně odepisuje 11,5 % na amortizaci? Za jakou dobu klesne cena na polovinu?

Řešení ukaž

173 288,5 Kč, 5,7 roku
Sbírka známek měla v roce 1987 cenu 80 Kč. Do roku 1997 vzrostla cena na 200 Kč. Ve kterém roce bude cena známek 20 000 Kč, když cena poroste exponenciálně stále stejným tempem?

Řešení ukaž

2048
Spotřeba uhlí rostla mezi roky 1947 až 1971 o 3,1 % ročně. Při spotřebě uhlí, která byla v roce 1972, by zásoby uhlí vydržely 600 roků. Na kolik roků vydrží zásoby uhlí, když spotřeba bude růst stále o 3,1 % ročně?

Řešení ukaž

na 97 roků
Firma se rozhodla na začátku roku, že v každém čtvrtletí zvýší svůj obrat o 2 %.
a) O kolik procent se zvýší obrat firmy za dva roky?
b) Za jak dlouho vzroste obrat firmy o 25 %?

Řešení ukaž

(a) o 17 %, (b) za 3 roky
Průlněrnou rodinu stalo v roce 2000 zdravotní pojištění 300$ za měsíc. Kolik bude stát v roce 2050, když očekávanát inflace bude 8 % ročně?

Řešení ukaž

14070,5$
Lyžařské středisko zahájilo činnost v roce 1963. V té době stál celodenní lístek na vlek 5$. Jeho cena se každoročně zvyšovala o 7 %. Kolik stál v roce 1993?

Řešení ukaž

38$
Za pět let se počet obyvatel ve městě zvýšil 0 12 %. Jaký byl roční procentuální přírůstek obyvatelstva?

Řešení ukaž

2,3 %
Počet obyvatel města vzrostl za 15 let z 48 000 obyvatel na 61 500 obyvatel. Jaký byl roční přírůstek v procentech? Kolik obyvatel lze očekávat ve městě za dalších 10 let při stejném ročním procentuálním přírůstku?

Řešení ukaž

1, 67 %; 72549 obyvatel
Kolik peněz bude mít v bance člověk po 10-ti letech, když tam na začátku každého roku vloží 2000 Kč. Roční úrok je 3 %.
Pan Starý má půjčku 300 000 Kč na roční úrok 14 %. Jaká musí být každoroční splátka dluhu koncem roku, chce-li pan Starý splatit dluh za pět let?
Pan Nový může každý rok splácet koncem roku 50 000 Kč. Jak velkou půjčku si může vzít na roční úrok 15 %, když chce půjčku splatit za 20 let?
Pan Šťastný vyhrál v loterii 3 000 000 Kč. Začátkem roku peníze uložil do banky na 9% roční úrok. Kolik peněz může na konci každého roku vybrat, jestliže chce vybírat vždy stejnou částku a chce, aby po 30ti letech neměl v bance žádné peníze?
V bance je na 8% úrok uložen jeden milión korun. Jakou konstantní částku (přesností na haléře) musíte každý rok z banky vyzvednout, abyste měli za 20 let (tedy dvacet vyzvednutí této částky) konto s nulovým zůstatkem?
V geometrické posloupnosti je součet prvních dvou členů 40, prvních tří 76 a prvních čtyř 130. Mezi prvními dvaceti členy najděte všechny, které mají celočíselnou hodnotu.

Řešení ukaž

Pouze prvních pět členů: 16; 24; 36; 54; 81
Posloupnost tří reálných čísel tvoří aritmetickou posloupnost s prvním členem 9. Když k druhému členu přičteme 2 a ke třetímu přičteme 20, vzniknou tři za sebou jdoucí členy geometrické posloupnost. Určete původní čísla.

Řešení ukaž

Jsou dvě možnosti: $9$ , $-5$ , $-19$ nebo $9$ , $19$ , $29$ .
Součin tří zasebou jdoucích členů geometrické posloupnosti je 216. Jejich součet je 19. Která jsou to čísla?

Řešení ukaž

4, 6, 9
V geometrické posloupnosti je $a_1=x^3$ , $a_2=x^t$ a $a_8=x^{52}$ . Určete hodnotu $t$ .

Řešení ukaž

$t=10$
Najděte čtyři čísla, která tvoří geometrickou posloupnost takovou, že součet krajních členů je roven 65 a součet prostředních členů je roven 20.

Řešení ukaž

1; 4; 16; 64

Řešení	ukaž
Hodnota vkladu po $n$ úrokovacích obdobích je (bez daně) $V_n=V_0\left(1+\dfrac p{100}\right)^n\\ V_n=2000\cdot(1,06)^5=26764,5$ Hodnota vkladu bude 2 6764,5$.

Řešení	ukaž
Označíme $n$ hledaný počet roků. $22000=5000\cdot(1,11)^{12n}\\ n=\dfrac{\log(\frac{22}5)}{12\cdot\log(1,11)}=1,18$ Cílovou částku překročíme za 1 rok a 3 měsíce.

Řešení	ukaž
40 227,1 Kč

Řešení	ukaž
22 roků

Řešení	ukaž
173 288,5 Kč, 5,7 roku

Řešení	ukaž
2048

Řešení	ukaž
na 97 roků

Řešení	ukaž
(a) o 17 %, (b) za 3 roky

Řešení	ukaž
14070,5$

Řešení	ukaž
38$

Řešení	ukaž
2,3 %

Řešení	ukaž
1, 67 %; 72549 obyvatel

Řešení	ukaž
Pouze prvních pět členů: 16; 24; 36; 54; 81

Řešení	ukaž
Jsou dvě možnosti: $9$ , $-5$ , $-19$ nebo $9$ , $19$ , $29$ .

Řešení	ukaž
4, 6, 9

Řešení	ukaž
$t=10$

Zjednodušte:

$\dfrac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x^8+x^6+x^4+x^2+1}$

Řešení	ukaž
V čitateli i ve jmenovateli je součet geometrické posloupnosti. V čitateli $a_1=1$ , $q=x$ . Ve jmenovateli $a_1=1$ , $q=x^2$ . $\dfrac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x^8+x^6+x^4+x^2+1}=\dfrac{1\cdot\frac{x^5-1}{x-1}}{1\cdot\frac{x^{10}-1}{x^2-1}}=\dfrac{x+1}{x^5+1}\qquad x\ne-1$

Koeficienty $a$ , $b$ , $c$ kvadratické rovnice
$ax^2+2bx+c= 0$
tvoří tři za sebou jdoucí členy geometrické posloupnosti. Vypočítejte diskriminant rovnice.

Řešení ukaž

$D=0$

Slovní úlohy

Rubriky

Základní informace