Slovní úlohy

Klasický postup je následující: Označíme počet koz $x$ a počet ovcí $y$. Pak platí

$$17x+19y=201$$

Z rovnice vyjádříme neznámou s menším koeficientem

$$x=\frac{201-19y}{17}=11-y+\frac{14-2y}{17}$$

Protože $x$ je přirozené číslo, musí být zlomek $\frac{14-2y}{17}$ celočíselný, tj. výraz $14-2y$ musí být dělitelný 17.

$$14-2y=17a,\ a\in\mathbb Z$$

Celý postup zopakujeme

$$y=\frac{14-17a}2=7-8a-\frac a2\ \Rightarrow\ a=2t,\ t\in\mathbb Z$$

Zpětným dosazením dostáváme rovnice

$$\begin{cases}x=4+19t\\ y=7-17t\end{cases}\ t\in\mathbb Z,$$

které popisují všechna celočíselná řešení. Vzhledem k textu máme doplňující podmínky $x>0$ a $y>0$.

$$\begin{cases}4+19t>0\\ 7-17t>0\end{cases}\ \Rightarrow\ t=0$$

Farmář koupil 4 kozy a 7 ovcí.

11

6 ks po 450 Kč a 9 ks po 330 Kč.

8 štětců, 5 per a 5 sešitů

15 kusů

jsou 3 možnosti: malý;velký=24;12=15;20=6;28

Jsou dvě možnosti: 1 tričko, 1 ponožky a 9 kapesníků nebo 1 tričko, 4 ponožky a 2 kapesníky.

6 žen a 4 muži

57 Kč

82

Označíme postupně počty mužů, žen a dětí $x$, $y$ a $z$. Sestavíme rovnice

$$\begin{cases}x+y+z=100\\ 3x+2y+\frac z2=100\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}x+y+z=100\\ -\\6x+4y+z=200\end{cases}\ \Rightarrow\ 5x+3y=100$$

Tuto rovnici můžeme řešit stejným způsobem jako v 1. příkladu. Ukážu zkratku. Poslední rovnice je vlastně rovnice přímky se směrovým vektorem $\vec s=(-3;5)$. Pokud se mám podaří najít jeden bod přímky s celočíselnými souřadnicemi, můžeme napsat parametrickou rovnici této přímky, která současně představuje řešení soustavy. Najít potřebný bod je triviální, protože vyhovuje např. $[20;0]$.

$$\begin{cases}x=20-3t\\ y=5t\end{cases}\ t\in\mathbb Z$$

Z podmínek

$$\begin{cases}y>0\\ x>y\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}t>0\\ 20-3t>5t\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}t>0\\ t<\frac52\end{cases}$$

dostaneme $t\in\{1;2\}$. Pro $t=2$ je ovšem $x$ sudé. Takže řešení je 17 mužů, 5 žen a 78 dětí.

5 mužů, 1 žena a 6 dětí

7

max=44, min=20. Ano může - 13.

Označíme věk slonů $x$. Pak (pro $x$, $k$, $l\in\mathbb N$) podle zadání platí

$$\begin{cases}8x=5k+4\\ 8x=9l+8\\ 0<x\le60\end{cases}\ \Rightarrow\ 5k-9l-4=0\\ \begin{cases}k=9t-1\\ l=5t-1\end{cases},\ t\in\mathbb N$$

Dosazením do nerovnice

$$0<\frac{9(5t-1)+8}8\le60\\ 0<t\le10$$

Vzhledem k tomu, že

$$x=\frac{45t-1}8=5t+\frac{5t-1}8$$

dává celočíselnou hodnotu pouze $t=5$. Slonům bylo 28 let.

Označme počet setkání pěti zelených draků a tří modrých draků $x$, počet setkání pěti modrých draků a tří zelených draků $y$. Mají-Ii zmizet všichni zeleni draci a zůstat pouze modří, potom musí platit

$$\begin{cases}5x + 3y = 113\qquad\text{zmizi vsichni zeleni draci}\\ 3x + 5y < 103\qquad\text{nekteri modri draci zustanou},\end{cases}$$

Řešení první rovnice je

$$\begin{cases}x=22-3t\\ y=1+5t\end{cases}\ t\in\mathbb Z$$

Dosazením do nerovnice máme $0\le t<2$. To dává dvě možnosti: na ostrově zůstalo 16, nebo 32 modrých draků.

5 destikorunových, 1 tříkorunová a 94 padetihaléřových

8

3 b. 14, 5 b. 9, 8 b. 3

13 krát

Podle zadání platí ($x$ je počet kostek)

$$\begin{cases}x=4a+2\\ x=9b+4\\ x=25c+4\end{cases}, a,b,c\in\mathbb N$$

Porovnáním posledních dvou rovnic zjistíme, že $b$ musí být celočíselnný násobek 25 -> $b=25k$, $k\in\mathbb N$. Dosazením do první rovnice máme

$$4a+2=9\cdot25k+4$$

Postupem z příkladu 7 zjistíme

$$a=113+225t,\ t\in\mathbb N\\ x=900t+454\\ 8000<900t+454<10000\\ t=9\ \vee\ t=10$$

Zadání vyhovují dvě řešení: 8554 nebo 9454 kostek.

13

3

15 volů, 16 krav a 9 telat

Jsou 3 možnosti. V pořadí krávy - ovce - prasata je to: 5-41-54; 10-22-68; 15-3-82

kohouti;slepice;kuřata=4;18;78=8;11;81=12;4;84

60

73, 7, 3

23, 5

Podle zadání platí

$$\frac{bg+gb+42}{b+g+1}=b+g\\ b^2+b+g^2+g=42\\ 4b^2+4b+1+4g^2+4g+1=168+2\\ (2b+1)^2+(2g+1)^2=170=1+169=49+121$$

Součet $1+169$ nevyhovuje, protože $b$, nebo $g$ by bylo nula. Zbývá

$$\begin{cases}(2b+1)^2=49\\ (2g+1)^2=121\end{cases}$$

nebo naopak. V obou případech je $b+g=8$.

Věky označíme postupně $p$, $j$ a $b$. Podle zadání je

$$100p+b=p\cdot b\cdot j\\ b=\frac{100p}{pj-1}$$

Protože čísla $p$ a $pj-1$ jsou nesoudělná, musí být $pj-1$ dělitel čísla $100$. A protože $p$ je dvouciferné číslo, bude i $pj-1$ dvouciferné. Jsou 4 možnosti:
$pj=11$, $p=11$, $j=1$, $b=110$ - nevyhovuje zadání $pj=21$, $p=21$, $j=1$, $b=105$ - nevyhovuje zadání $pj=26$, $p=13$, $j=2$, $b=52$ - vyhovuje $pj=51$, $p=17$, $j=3$, $b=34$ - vyhovuje zadání, ale nevyhovuje biologii.
Petrovi je 17 let.

3

1806

za 14 let (za předpokladu, že jednociferné číslo $n$ zapíšeme jako $0n$)

Vzdálenost, kterou jel vlakem označíme $x$ a rychlost, kterou jel na kole $v$. Podle textu platí

$$\frac x{50}+\frac{60-x}v=\frac32\\ 75v-vx+50x-25\cdot120=0\\v(75-x)-50(60-x)-15\cdot50=-15\cdot50\\ (50-v)(75-x)=750$$

Výraz $75-x$ musí dělit číslo $750$. Současně, protože $0<x<60$ je $15<75-x<75$. A nakonec, protože chceme maximální $v$, bude $50-v$ minimální a tím pádem $75-x$ maximální. Všem těmto podmínkám vyhovuje $75-x=50$. Josef jel na kole 1 hodinu a jel rychlostí 35 km/h.

Velikost vnitřního úhlu pravidelného $n$-úhelníka určuje vztah

$$\alpha=\frac{n-2}n180^\circ\qquad n\ge3$$

Podle zadání platí pro dva mnohoúhelníky s $n$ a $m$ úhly

$$\frac{\frac{n-2}n180^\circ}{\frac{m-2}m180^\circ}=\frac23\\mn-6m+4n=0\\ m(n-6)+4(n-6)+24=0\\ (m+4)(6-n)=24=24\cdot1=12\cdot2=8\cdot3=6\cdot4$$

Postupným řešením dostaneme

$$[m;n]\in\{[20;5];[8;4];[4;3]\}$$

6 krabiček a 8 nebo 9 kuliček

Označíme $x$ celkový počet bonbónů a $p$, $m$, $j$ počty bonbónů, které jednotlivé dívky snědly. Podle textu platí

$$\begin{cases}p+m+j=x\\ j+m=p+3\\ p+m=j+7\end{cases}$$

Sečtením posledních dvou rovnic dostaneme $m=5$. Jejich odečtením pak $p=j+2$. Dosazením těchto hodnot do první rovnice máme

$$\begin{cases}j=\frac{x-1}2-3\\ p=\frac{x-1}2-1\end{cases}$$

Nyní postupně vyzkoušíme možnosti $p=7$ (nevyhovuje) a $j=7$, což dává $p=9$ a je v souladu se zadáním. Jména dívek: Petra Vaňková, Jana Sudková a Míša Nováková.

Označíme dopolední cenu $p$ a odpolední $q=p-d$, kde $d$ je snížení. Dále označíme počet kuřat prodaných dopoledne postupně $x$, $y$, $z$. Podle textu platí

$$\begin{cases}px+q(10-x)=3500\\ py+q(16-y)=3500\\ pz+q(26-z)=3500\end{cases}$$

z čehož máme úpravou

$$\begin{cases}x=\frac{3500-10q}d&(1)\\ y=\frac{3500-16q}d&(2)\\ z=\frac{3500-26q}d&(3)\end{cases}$$

Dále zjistíme, že

$$\frac{x-y}{y-z}=\frac{3500-10q-3500+16q}{3500-16q-3500+26q}=\frac35$$

Takže můžeme položit

$$x-y=3k\\ y-z=5k\\ x-z=x-y+y-z=8k\qquad k\in\mathbb Z$$

Poslední rovnici ještě přepíšeme

$$x=8k+z$$

Protože je $x\le10$ a $z\ge0$, musí být $k=1$. Takže platí

$$x\in\{8;9;10\}\\ z=x-8\\ y=z+5$$

Jednotlivé možnosti jsou

• $x=8$, $z=0$, $y=5$: Dosazením do $(3)$ máme $q=\frac{3500}{26}\not\in\mathbb N$, což nevyhovuje.
• $x=9$, $z=1$, $y=6$: Řešením soustavy $(2),\,(3)$ máme $q=125$, $d=250$
• $x=10$, $z=2$, $y=7$: Řešením soustavy $(2),\,(3)$ máme $q=\frac{350}{3}\not\in\mathbb N$, což nevyhovuje.

Dopolední cena byla 375 Kč a odpolední 125 Kč.

Označíme výšku $h$ a hranu podstavy $a$. Podle textu je

$$h\cdot\frac43a\cdot\frac23a=ha^2-15\\ ha^2=15\cdot9$$

Výška je 15 m, podstavná hrana 3 m.

$6 \times 3$ (pokud za obdélník považujeme i čtverec, pak i $4 \times 4$)