Slovní úlohy

72 s

75 m

100 km

běží 6 km/h a plave 1,5 km/h

Když $a$ bude délka hřiště a $b$ jeho šířka, dostaneme soustavu

$$\begin{cases}2(a+b)=300\\12\cdot2(a+b)=20\cdot2(\frac a2+b)\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}a=120\\b=30\end{cases}$$

Rozměry hřiště jsou $30 \times 120$ m

V polovině Adamovy cesty.

Výška sedačky nad zemí je dána rovnicí

$$h=10-8\cos\varphi,$$

kde $\varphi$ je úhel otočení. Číselně

$$h=10-8\cos(480^\circ)=14$$

Sedačka bude ve výšce 14 m.

10 s

Relativní rychlosti i délky jsou stejné, takže musí být stejný i čas. 6 s

$$\frac s{72}+\frac s{60}=2\frac34\\ s=90$$

Vzdálenost je 90 km.

Emam má náskok $60\cdot\frac12=30$ km. Tento náskok stahuje Pavek rychlostí $70-60=10$ km/h. Bude ho tedy stahovat 3 hodiny. Za tu dobu ujede 210 km.

14:51

9:12

7,5 minuty

115 km/h a 95 km/h

Rychlejší vůz 125 m/min., pomalejší 75 m/min.

35 km/den a 20 km/den

63 km

12

$v_a=48$ km/h, $v_b=36$ km/h

$\frac{r+t}{r-t}$

Pro průměrnou rychlost platí

$$v_p=\frac{s_1+s_2}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}}$$

Číselně

$$100=\frac{288+x}{\frac{288}{80}+\frac{x}{110}}\\ x=792$$

Celková délka cesty je 1080 km.

$10\frac23$ km/h

48 km/h

80 km/h

12 km/h

48 minut

Kamil je doma dřív o 15 minut.

3 h 20 min.

71,4 km/h

Je-ji délka svíček $h$, pak rychlost ubývání modré svíčky je $v_m=\frac h6$ a zelené svíčky $v_z=\frac h3$. Podle zadání hledáme čas $t$ tak, aby platila podmínka

$$h-v_mt=3(h-v_zt)\\ h-\frac h6t=3h-3\frac h3t\\ t=\frac{12}5$$

Modrá svíčka bude třikrát delší než zelená za 2,4 h.

2 h 48 min

7:5

za 1,5 h

Rychlost hodinové ručičky je $v_h=5$ dílků/hodinu a rychlost minitové ručičky je $v_m=60$ d/h. Devadesáti stupňům odpovídá 15 dílků. Hledáme čas (v hodinách) tak, aby platila podmínka

$$60t=5t+15\\ t=\frac3{11}$$

Hodinová a minutová ručička budou poprvé svírat úhel 90° za $\frac{180}{11}=16,\overline{36}$ minut.

$2$ h $54,\overline{54}$ min.

$32,\overline{72}$ minut

$\frac{2}{11}$ hod

3 hodiny 32 minut a 43,63 sekund

1 hodinu 5 minut a 27,27 sekund

$\frac{240}{13}=18,46$ minut

16 minut

20

4 dny

Označíme-li Markovu rychlost $x$, pak podle zadání platí

$$\frac{60+12}{x+4}=\frac{60-12}x\\ x=8$$

Markova rycholst je 8 km/h

Podle zadání dostaneme soustavu

$$\begin{cases}v_1\cdot1+v_2\cdot1=50\\ \frac{50}{v_1}+\frac56=\frac{50}{v_2}\end{cases}\\ \begin{cases}v_1=-100\\ v_2=150\end{cases}\qquad \vee \qquad \begin{cases}v_1=30\\ v_2=20\end{cases}$$

Rychlosti cyklistů jsou 20 km/h a 30 km/h.

Ze zadání dostaneme soustavu

$$\begin{cases}3v_a+3v_b=s\\ v_a(t-2,5)=s\\ v_bt=s\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases} t_1=1\\ t_2=7,5\end{cases}$$

Billova cesta trvala 7,5 hodiny.

56 km/h

16 km/h, 14 km/h

78 km

15 km

2 km

6 km/h

12 km/h

ve 14:00, 116 km

37,5 minuty

Označíme si hledanou hodnotu $x$. Dostáváme soustavu

$$\begin{cases}\frac sv=3\cdot\frac s{v+3}\\ \frac sv=x\cdot\frac s{v+6}\end{cases}\\ x=5$$

Cesta zabere 5krát méně času.

60 km

12 km/h, 4 h 20 min.

201 km, 51 km/h

3,75 km

2,4 km

24 km/h

Délku rovné části označíme $x$ a nerovné části $y$. Z textu máme rovnici

$$\frac x4+\frac y3+\frac y6+\frac x4=2$$

a odtud dostaneme

$$2(x+y)=8$$

Chodec ušel celkem 8 km.

24 km

1 hodinu

273 km

24 km, 13:30 $\pm$ 30 minut

2,5 h

22 minut

$v_A=30$ km/h, $v_B=20$ km/h, $\mathsf{|AB|}=30$ km

42 metrů

To není možné.

60 km

Označíme rychlost rychlost řeky $v$. Pak podle zadání platí

$$\frac{15}{8+v}+\frac{15}{8-v}=4\\ v=\pm2$$

Rychlost řeky je 2 km/h.

10 km/h

72 km

2 km/h

$\sqrt{11}$

1 h 20 min./spoiler]

Sergej jel na raftu po řece z místa $\mathsf A$ do místa $\mathsf B$. Rychlost řeky je konstantní a Sergej pádloval konstantní rychlostí. Cesta mu trvala 18 minut. Potom cestu zopakoval, ale nepádloval. Tentokrát cesta trvala 30 minut. Za jak dlouho by upádloval stejnou vzdálenost $\mathsf{AB}$ na jezeře, kde není proud?

Řešení	ukaž

45 minut

9,504 km

168 minut

Martin 10 km/h, Ivan 6 km/h

Kdyby se celá událost stala na klidné vodě, cesta od obrátky ke klobouku by trvala stejně dlouho, jako cesta od klobouku k obrátce, tj. 5 minut. Protože ale proud unáší klobouk stejně jako člun, toto unášení dobu nijak nezmění. Takže rybář se vrátí ke klobouku za 10 minut. Za tu dobu proud odnesl klobouk o 1 km. Rychlost produ je 6 km/h.

10:45

dorazily současně

3 km/h

18 minut

120 s

Aleš dorazí do cíle za dobu $t$. Rychlost Běty je $v_B=\frac{8}t$ a Katky $v_K=\frac6t$. Běta doběhne do cíle za

$$t_1=\frac{10}{v_B}=\frac{10t}8$$

Za tuto dobu urazí Katka vzdálenost

$$s=v_K\cdot t_1=\frac6t\cdot\frac{10t}8=\frac{15}2$$

Katce chybělo do cíle 2,5 km.

Jane

250 m

2,4 hodiny

$\frac9{20}$ cesty

Požár byl daleko 27 km a hasičský vůz k němu dorazil v 10:45.

$v_B=\frac32v_S$

Po 30. zastavení. Nejjednodušší je udělat so graf.

Setkají se ve městě C.

Z druhé informace máme rovnici

$$\frac{50}{\frac35v}-\frac{50}{v}=\frac23\\ v=50,$$

kde $v$ je původní rychlost vlaku. Z první informace pak

$$1+\frac{x-50}{30}=\frac x{50}+2\\ x=200,$$

kde $x$ je hledaná vzdálenost.
Vzdálenost z $\mathsf A$ do $\mathsf B$ je 200 km.

Předpokládejme, že vzdálenost sedaček je $x$ a Koumes stoupá rychlostí $v$. Pak ho sedačky předjíždějí v intervalu $\frac x{8-v}$ a celková doba stoupání je $12\cdot\frac x{8-v}$. Současně ho sedačky míjejí v intervalu $\frac x{8+v}$ a celková doba stoupání je $20\cdot\frac x{8+v}$. Porovnáním dostáváme rovnici

$$12\cdot\frac x{8-v}=20\cdot\frac x{8+v}\\ v=2$$

Obdobně při sjezdu ($u$ je sjezdová rychlost)

$$4\cdot\frac x{8+u}=3\cdot\frac x{u-8}\\ u=56$$

Koumes stoupal rychlostí 2 km/h a sjížděl rychlostí 56 km/h.

119

120 schodů

Z obrázku je zřejmé, že kůň celkem uběhl dvojnásobek dostihové trati. To znamená, že průměrná rychlost koně s žokejem je $20$ m/s, koně bez žokeje $10$ m/s a žokeje $5$ m/s.  Když se žokej vydal koni naproti, byli od sebe vzdáleni 600 m a setkali se za

$$600=10t+5t\\ t=40\ \text s.$$

Za tuto dobu žokej uběhl $40\cdot5=200$ metrů.

• doba do splašení $\frac{900}{20}=45$ s
• doba běhu samotného koně ke startu $\frac{600}{10}=60$ s
• doba běhu k žokejovi $40$ s
• doba s žokejem do cíle $\frac{500}{20}=25$ s

Celková doba závodu $45+60+40+25= 170$ sekund.

Označíme si vzdálenost stanic $5x$, rychlost kluků $v$ a rychlost tramvaje $u$. Potom, podle zadání, musí platit

$$\frac{3x}v=\frac{5x}u+\frac{2x}v\\ u=5v$$

Rychlost jejich chůze je 5 krát menší než rychlost tramvaje.