Urči číslo

Které přirozené číslo se umocněním na druhou zvětší o 500 %?

Řešení ukaž

6
Průměr padesáti čísel je 76. Čtyřicet z těchto čísel má průměr 80. Jaký je průměr zbylých deseti čísel?

Řešení ukaž

60

Řešení	ukaž
6

Řešení	ukaž
60

Rozdíl dvou kladných čísel je 2 a jejich součin je 17. Kolik je jejich součet?

Řešení	ukaž
Úloha se dá řešit různými způsoby. Nejprimitivnější způsob je vyřešit soustavu $\begin{cases}x-y=2\\ xy=17\\ x>y>0\end{cases}$ Protože nás ale nezajímají konkrétní hodnoty daných čísel, soustavu nemusíme řešit. Místo toho využijeme identitu $(x+y)^2=(x-y)^2+4xy\\ (x+y)^2=4+4\cdot17\\ x+y=6\sqrt2$ Součet těchto čísel je $6\sqrt{2}$ .

Odečtením rozdílu druhých mocnin dvou sousedních přirozených čísel od rozdílu jejich třetích mocnin dostaneme číslo 30. Která jsou to čísla?

Řešení ukaž

3 a 4
Součin tří po sobě jdoucích čísel je 2184. Jaký je jejich součet?

Řešení ukaž

Rozkladem na prvočinitele
$2184=2^3\cdot3\cdot7\cdot13$
vidíme, že toto číslo lze napsat jako
$2184=12\cdot13\cdot14$
Hledaný součet je 39.
Součet tří za sebou jdoucích přirozených čísel je 27. Jaký je jejich součin?

Řešení ukaž

Hledaná čísla si označíme $x-1$ , $x$ , $x+1$ . Pak podle textu platí
$x-1+x+x+1=27\\ x=9\\ 8\cdot9\cdot10=720$
Součin daných čísel je 720.
Určete součet tří po sobě jdoucích přirozených čísel takových, že součet prvního a třetího je 368.

Řešení ukaž

552
Když ve dvouciferném čísle změníme pořadí cifer, jeho hodnota se zvětší o 20 %. Jaké je to číslo?

Řešení ukaž

Hledané číslo můžeme zapsat jako $10x+y$ . Pak podle textu platí
$\frac65(10x+y)=10y+x\\ 5x=4y$
Protože $x$ i $y$ jsou nenulové cifry, je $x=4$ a $y=5$ . Hledané číslo je 45.
Když ve dvouciferném čísle prohodíme cifry, vznikne číslo, které je o 75 % větší, než původní číslo. Určete největší takové číslo.

Řešení ukaž

48
Ciferný součet dvouciferného čísla je 15. Jestliže toto číslo zvětšíme o 27, dostaneme číslo zapsané stejnými číslicemi, ale v obráceném pořadí. Určete toto číslo.

Řešení ukaž

69
Dvojciferné číslo má součet cifer 8. Součin tohoto čísla a čísla, které z něho vznikne obrácením pořadí, je 1855. Určete uvažované číslo.

Řešení ukaž

35 nebo 53
Když u dvojciferného čísla prohodíme cifry a k nově získanému číslu přičteme 3, dostaneme dvojnásobek původního čísla. Určete původní číslo.

Řešení ukaž

12
Je dáno číslo menší než 50. Když toto číslo zdvojnásobíme a odečteme 12, dostaneme číslo, které má stejné číslice jako původní číslo, ale v opačném pořadí. Určete původní číslo.

Řešení ukaž

48
Jestliže přečteme určité dvouciferné číslo zprava doleva, bude nové číslo čtyřiapůlkrát větší než dané číslo. O které číslo se jedná?

Řešení ukaž

18
Součin tří za sebou jdoucích čísel je osmkrát větší než jejich součet. Určete tato čísla.

Řešení ukaž

4, 5, 6
Součin tří za sebou jdoucích přirozených čísel je 33 krát větší než jejich součet. Určete tato čísla.

Řešení ukaž

9, 10, 11
Součin tří za sebou jdoucích přirozených čísel je 40 krát větší než jejich součet. Která jsou to čísla?

Řešení ukaž

10, 11, 12
Jsou dána čtyři za sebou jdoucí přirozená čísla. Součet třetích mocnin prvních tří čísel se rovná třetí mocnině čtvrtého čísla. Která jsou to čísla?

Řešení ukaž

3, 4, 5, 6
Součin čtyř různých přirozených čísel, z nichž přesně tři jsou lichá, je $7!$ . Součet těchto čtyř čísel je 63. Která jsou to čísla?

Řešení ukaž

3, 5, 7, 48
Máme pět za sebou jdoucích přirozených čísel. Součet prvních čtyř je roven trojnásobku pátého čísla. Která jsou to čísla?

Řešení ukaž

$6\dots10$
Pět za sebou jdoucích celých čísel má následující vlastnost: součet druhých mocnin prvních tří čísel se rovná součtu druhých mocnin zbývajících dvou čísel. Určete všechny pětice, které mají tuto vlastnost.

Řešení ukaž

$-2\dots2$ , $10\dots14$
Je dáno 6 za sebou jdoucích přirozených čísel. Součet druhého, čtvrtého a pátého čísla je 41. Jaký je součet třetího a šestého čísla?

Řešení ukaž

29

Řešení	ukaž
3 a 4

Řešení	ukaž
Rozkladem na prvočinitele $2184=2^3\cdot3\cdot7\cdot13$ vidíme, že toto číslo lze napsat jako $2184=12\cdot13\cdot14$ Hledaný součet je 39.

Řešení	ukaž
Hledaná čísla si označíme $x-1$ , $x$ , $x+1$ . Pak podle textu platí $x-1+x+x+1=27\\ x=9\\ 8\cdot9\cdot10=720$ Součin daných čísel je 720.

Řešení	ukaž
552

Řešení	ukaž
Hledané číslo můžeme zapsat jako $10x+y$ . Pak podle textu platí $\frac65(10x+y)=10y+x\\ 5x=4y$ Protože $x$ i $y$ jsou nenulové cifry, je $x=4$ a $y=5$ . Hledané číslo je 45.

Řešení	ukaž
48

Řešení	ukaž
69

Řešení	ukaž
35 nebo 53

Řešení	ukaž
12

Řešení	ukaž
48

Řešení	ukaž
18

Řešení	ukaž
4, 5, 6

Řešení	ukaž
9, 10, 11

Řešení	ukaž
10, 11, 12

Řešení	ukaž
3, 4, 5, 6

Řešení	ukaž
3, 5, 7, 48

Řešení	ukaž
$6\dots10$

Řešení	ukaž
$-2\dots2$ , $10\dots14$

Řešení	ukaž
29

Jestliže napíšeme číslice ve čtyřciferném čísle v opačném pořadí, dostaneme číslo 4 krát větší. Určete všechna čísla, která mají tuto vlastnost.

Řešení	ukaž
Nechť cifry původního čísla jsou $a$ , $b$ , $c$ a $d$ . Podle zadání platí $4\cdot\overline{abcd}=\overline{dcba}$ Protože na levé straně je sudé číslo, musí být sudé číslo i na pravé straně. Současně cifra $a$ musí být meší než 3, protože jinak by násobek čtyř byl pěticiferný. Takže $a=2$ a tím pádem $d=8$ . Platí tedy $4(2000+100b+10c+8)=8000+100c+10b+2\\ 2c=13b+1$ Poslední rovnici vyhovují pouze cifry $b=1$ a $c=7$ . Existuje jediné číslo s danou vlastností, a to číslo 2178.

Řešení

ukaž

Nechť cifry původního čísla jsou

$a$ ,

$b$ ,

$c$ a

$d$ . Podle zadání platí

$4\cdot\overline{abcd}=\overline{dcba}$

Protože na levé straně je sudé číslo, musí být sudé číslo i na pravé straně. Současně cifra

$a$ musí být meší než 3, protože jinak by násobek čtyř byl pěticiferný. Takže

$a=2$ a tím pádem

$d=8$ . Platí tedy

$4(2000+100b+10c+8)=8000+100c+10b+2\\ 2c=13b+1$

Poslední rovnici vyhovují pouze cifry

$b=1$ a

$c=7$ . Existuje jediné číslo s danou vlastností, a to číslo 2178.

Když čtyřciferné číslo $x$ vynásobíme 9, dostaneme jiné čtyřciferné číslo, které má cifry v obráceném pořadí než číslo $x$ . Určete číslo $x$ .

Řešení ukaž

1089

$N$ je pěticiferné číslo. Když napíšeme 1 na konec tohoto čísla, dostaneme číslo třikrát větší, než když napíšeme 1 na začátek čísla $N$ . Určete číslo $N$ .

Řešení ukaž

Pokud napíšeme 1 na konec, dostaneme číslo $10N+1$ . Pokud napíšeme 1 na začátek, dostaneme číslo $100000+N$ . Podle zadání platí
$10N+1=3(100000+N)\\ N=42857$
Číslo $M$ je dvouciferné přirozené číslo. Číslo $N$ získáme z čísla $M$ tak, že vyměníme pořadí číslic. Víme, že rozdíl $M-N$ je kladná druhá mocnina přirozeného čísla. Kolik čísel $M$ existuje?

Řešení ukaž

13
Rozdíl, součet a součin dvou čísel je v poměru 1:7:18. Která jsou to čísla?

Řešení ukaž

6 a 4,5
Poměr rozdílu, součtu a součinu dvou čísel je 1:7:24. Která jsou to čísla?

Řešení ukaž

8 a 6
Najděte 4-ciferné číslo, které má všechny následující vlastnosti:
(a) ciferný součet je roven 10,
(b) rozdíl tohoto čísla a čísla napsaného pozpátku je 3087,
(c) součet prvních dvou cifer je o 4 větší než součet posledních dvou,
(d) součet první a čtvrté cifry je stejný jako součet druhé a třetí cifry.

Řešení ukaž

4321
Určete tři přirozená čísla $a$ , $b$ , $c$ , pro která platí
$a+\frac1{b+\frac1c}=\frac{15}2$

Řešení ukaž

$a=7$ , $b=c=1$
Určete tři přirozená nesoudělná čísla $A$ , $B$ , $C$ , pro která platí
$A\log_{200}5 + B\log_{200}2 = C.$

Řešení ukaž

$A=2$ , $B=3$ , $C=1$
Pro jakou cifru $d$ je číslo $16d1$ druhá mocnina přitozeného čísla?

Řešení ukaž

$d=8$

Řešení	ukaž
1089

Řešení	ukaž
Pokud napíšeme 1 na konec, dostaneme číslo $10N+1$ . Pokud napíšeme 1 na začátek, dostaneme číslo $100000+N$ . Podle zadání platí $10N+1=3(100000+N)\\ N=42857$

Najděte nejmenší přirozené číslo, které se rovná jedné polovině druhé mocniny a zároveň jedné třetine třetí mocniny.

Řešení

ukaž

Podle zadání platí

$\begin{cases}x=\frac12a^2\\ x=\frac13b^3\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}x^3=\frac18a^6\\ x^2=\frac19b^6\end{cases}\ \Rightarrow\ x=\frac98\left(\frac ab\right)^6$

kde

$a,b\in\mathbb N$ . Protože

$x$ je přirozené číslo, musí se zlomky pokrátit. Bude tedy

$a=2^m$ a

$b=3^n$ ,

$m,n\in\mathbb N_0$ .

$x=2^{6m-3}\cdot3^{2-6n}$

Nejmenší hodnotu dostaneme pro

$m=1$ a

$n=0$ . Hledané číslo je

$x=72$ .

Určete všechna

$n\in\mathbb N$ taková, že číslo

$n^2-1991$ je druhá mocnina přirozeného čísla.

Řešení	ukaž
Platí ( $k\in\mathbb N$ ) $n^2-1991=k^2\\ n^2-k^2=1991\\ (n-k)(n+k)=11\cdot181=1\cdot1991$ Jsou tedy dvě možnosti $\begin{cases}n+k=1991\\ n-k=1\end{cases}\qquad \vee\qquad\begin{cases}n+k=181\\n-k=11\end{cases}\\ n=996\qquad\vee\qquad n=96$

Určete všechna $n\in\mathbb N$ taková, že číslo $2001+n^2$ je druhá mocnina přirozeného čísla.

Řešení ukaž

1000, 332, 32, 20

Určete všechna

$n\in\mathbb N$ taková, že číslo

$n^2-19n+91$ je druhá mocnina přirozeného čísla.

Řešení	ukaž
Platí ( $k\in\mathbb N$ ) $n^2-19n+91=k^2\quad\|\cdot4\\ 4n^2-76n+19^2+364-19^2=4k^2\\ (2n-19)^2+3=4k^2\\ 4k^2-(2n-19)^2=3\\ (2k-2n+19)(2k+2n-19)=3$ Jsou dvě možnosti $\begin{cases}2k-2n+19=3\\ 2k+2n-19=1\end{cases}\quad\vee\quad\begin{cases}2k-2n+19=1\\ 2k+2n-19=3\end{cases}\\ n=9\quad \vee\quad n=10$

Určete všechna $n\in\mathbb N$ taková, že číslo $n^2+3n+24$ je druhá mocnina přirozeného čísla.

Řešení ukaž

5 a 20
Najděte všechna kladná celá čísla $n$ , pro která je číslo $n^2 + 6n$ druhou mocninou přirozeného čísla.

Řešení ukaž

$n=2$
Najděte nejmenší přirozené číslo $n$ takové, že čísla $n+125$ a $n+201$ jsou současně druhou mocninou přirozeného čísla.

Řešení ukaž

199

Určete všechna

$n\in\mathbb Z$ taková, že číslo

$\sqrt{\frac{11n-5}{n+4}}$

je přirozené číslo.

Řešení

ukaž

Výraz pod odmocninou musí být nezáporný, tj.

$n\in(-\infty;-4)\cup[\frac5{11};\infty)$

. Pak (

$k\in\mathbb N$ ) platí

$\frac{11n-5}{n+4}=k^2\ \Rightarrow \frac{11n+44-49}{n+4}=k^2\ \Rightarrow 11-\frac{49}{n+4}=k^2$

Aby byl výraz na levé straně celočíselný, musí být

$n+4$ dělitelem čísla 49.

$n+4=-1;\pm7;\pm49$

$n+4$	-1	7	-7	49	-49
$11-\frac{49}{n+4}$	60	4	18	10	12

Vyhovuje jediné $n=3$ .

Jestliže jsou řešením rovnice

$x^2-85x+c=0$ dvě různá prvočísla, urči ciferný součet čísla

$c$ .

Řešení	ukaž
Pro kořeny $x_1$ a $x_2$ platí $x_1+x_2=85$ . Součet dvou celých čísel je lichý právě tehy, když jedno číslo je liché a druhé sudé. Jediné sudé prvočíso je 2. $x_1=2\quad\wedge\quad x_2=83\\c=x_1x_2=166$ Ciferný součet čísla $c$ je 13.

Nechť $P(n)$ a $S(n)$ označují postupně ciferný součin a součet čísla $n$ . Například $P(23)=6$ a $S(23)=5$ . Pro dvouciferné číslo $N$ platí
$N=S(N)+P(N).$
Určete číslici na místě jednotek čísla $N$ .

Řešení ukaž

9
Petr si myslí dvojmístné číslo. Když tohle číslo napíše dvakrát za sebou, vznikne čtyřmístné číslo, které je dělitelné devíti. Když totéž číslo napíše třikrát. za sebou, vznikne šestimístné číslo, které je dělitelné osmi. Zjistěte, jaké číslo si může Petr myslet.

Řešení ukaž

72
Dvouciferné číslo vydělíme číslem, které vznikne z původního čísla přehozením cifer. Výsledek je 3 a zbytek 5. Jaké bylo původní číslo?

Řešení ukaž

92
Je dáno šesticiferné číslo, které končí číslicí 4. Když tuto číslici přesuneme na začátek daného čísla (před jeho první cifru), vznikne nové číslo, které je čtyřnásobkem původního. Jaké je to číslo?

Řešení ukaž

102564
Když k danému přirozenému číslu přičteme součet jeho cifer, dostaneme 101. Která čísla mají tuto vlastnost?

Řešení ukaž

91 a 100

Slovní úlohy

Rubriky

Základní informace